Écriture d’un entier relatif

Nous avons vu comment écrire un entier dans différentes bases. Nous allons nous concentrer sur la base 2 qui est utilisée dans les systèmes informatiques.

Addition en binaire

Une addition en binaire se fait de la même façon qu’en décimal.

1) Additionnons les deux nombres binaires suivants : 11001011 et 01011100

2) Convertissez puis additionnez 12 et 43 en binaire.

Le binaire signé

Définition

Pour représenter un entier relatif, la solution qui peut paraître la plus simple serait de garder le premier bit pour le signe (1 pour négatif et 0 pour positif) et les suivants pour la valeur absolue.

3) Essayons d’écrire -11 sur 8 bits de cette façon.

4) Quel est alors l’intervalle qu’il est possible d’écrire sur 8 bits ? Comparer à l’intervalle du binaire non-signé sur 8 bits également.

Problèmes

5) Pour se rendre compte des problèmes de cette représentation, ajoutons 11 et -11 en binaire signé sur 8 bits. Que remarquez-vous ?

6) Donner les deux façons d’écrire le zéro :

Pour ces raisons, le binaire signé n’a presque jamais été utilisé. On utilise le complément à 2.

Complément à 2

Pour écrire un entier négatif en complément à 2, il faut suivre trois étapes :

• on écrit l’entier positif opposé en binaire ;
• on inverse tous les 1 et les 0 ;
• on ajoute 1.

Ainsi, un entier négatif commence aussi par un 1.

Pour trouver la valeur d'un entier négatif en complément à 2, il faut suivre trois étapes :

• on inverse tous les 1 et les 0 ;
• on ajoute 1.
• on obtient alors l’entier positif opposé en binaire ;

7) Prenons l’exemple de -11 sur 8 bits :

11 = 00001011
     11110100  # On inverse les 1 et les 0
	 11110101  # On ajoute 1

8) Ajoutons 11 à -11 :

 00001011  # 11
+11110101  # -11
 --------
100000000
 00000000  # 0 car le 9e bits n'existe pas

9) Quel est le plus grand entier positif que l’on peut écrire sur 8 bits ?

10) Que vaut 10000000 ?

10000000
01111111  # On inverse les 1 et les 0
10000000  # On ajoute 1, on obtient 128

11) On complète alors le tableau récapitulatif ci-dessous :

12) Donner l’écriture en complément à 2 sur 8 bits de -38.

38 = 00100110
     11011001  # On inverse les 1 et les 0
	 11011010  # On ajoute 1

13) Ajouter 89 à -38 en complément à 2 et vérifier le résultat.

 01011001  # 89
+11011010  # -38
 --------
100110011
 00110011  # 51 car le 9e bits n'existe pas

14) Quels sont le plus grand entier positif et le plus petit entier négatif que l’on peut écrire en complément à 2 sur 16 bits ?

15) Convertir le complément à deux 10010000₂ en décimal.

16) Convertir le complément à deux 00010000₂ en décimal.