Écriture d’un entier positif

La base 10 (décimal)

Pour représenter un nombre nous utilisons tous les jours la base 10. Mais comment compte-t-on en base 10 ?

La base 10 s’appelle comme cela car elle contient 10 éléments : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Pour compter on commence à 0 et on augmente jusqu’à 9. Ensuite, pour aller au delà, il faut changer de rang c’est à dire passer des unités aux dizaines. On passe donc à 10, puis jusqu’à 19 et on passe les dizaines à 2 pour arriver à 20… quand les dizaines sont arrivées à 9, on passe aux centaines…

Chaque rang est égal au rang précédent multiplié par l’indice de la base : une dizaine est égale à 10 unités, une centaine est égale à 10 dizaines…

Ainsi quand on écrit par exemple 243 en base 10 cela ce traduit de cette façon :

243₁₀ = 2x10² + 4x10¹ + 3x10⁰

Le 10 en indice signifie que l’on est en base 10. 10⁰ correspond aux unités (rang 0), 10¹ correspond aux dizaines (rang 1) et 10² correspond aux centaines (rang 2). C’est la décomposition en base 10.

1) Combien de valeurs peut-on représenter sur 3 chiffres en base 10 ?

1000 = 10³

2) Combien de valeurs peut-on représenter sur n chiffres en base 10 ?

10ⁿ

La base 2 (binaire)

Le binaire est utilisé en informatique car les composants électroniques possèdent et savent traiter deux états : 1 (une tension) ou 0 (pas de tension). Il a donc fallu tout représenter en binaire. Nous commençons donc dans ce chapitre par les entiers positifs. En binaire il n’y a que deux éléments : 0 et 1 et on les appelle des bits (contraction de binary digit).

Compter en binaire

3) En appliquant la même règle de comptage que pour la base 10, comptez en base 2 jusqu’à 10 :

Base 10	Base 2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Base 10	Base 2
0	0
1	1
2	10
3	11
4	100
5	101
6	110
7	111
8	1000
9	1001
10	1010

4) Combien de valeurs peut-on représenter sur 1 bit, 2 bits, 3 bits, 4 bits, n bits ?

1 bit : 2
2 bit : 2 x 2 = 4
3 bit : 2 x 2 x 2 = 2³ = 8
4 bit : 2⁴ = 16
n bit : 2ⁿ

Conversion décimal → binaire

Pour un nombre quelconque on ne peut pas compter à partir de zéro pour avoir son expression en binaire. Il faut donc une méthode pour convertir un nombre décimal en binaire : il faut faire des divisions euclidiennes successives et on s’arrête lorsqu’on arrive à 0.

5) Faisons ensemble 243₁₀ :

11110011₂

6) Convertir 48 en binaire.

110000₂

7) Convertir 293 en binaire.

100100101₂

Conversion binaire → décimal

La conversion binaire vers décimal est beaucoup plus simple car il suffit d’écrire la décomposition en base 2 du nombre : on multiplie chaque bit par la valeur de son rang et on ajoute tout.

8) Faisons ensemble 11011011₂ :

128 + 64 + 16 + 8 + 2 + 1 = 219

9) Convertir 10100101110₂ en décimal.

1326

10) Convertir 11101000110010011₂ en décimal.

119187

La base 16 (Hexadécimal)

On utilise surtout l’hexadécimal pour représenter des nombres binaires de manière plus synthétique. En effet, 4 bits peuvent représenter 16 valeurs, cela correspond donc à un élément en hexadécimal.

Mais comment fait-on pour coder les valeurs supérieures à 9 ? On utilise des lettres majuscules !

11) Compléter alors le tableau ci-dessous :

Base 10	Base 2	Base 16
0	0
1	1
2	10
3	11
4	100
5	101
6	110
7	111
8	1000
9	1001
10	1010
11	1011
12	1100
13	1101
14	1110
15	1111
16	10000
17	10001

Base 10	Base 2	Base 16
0	0	0
1	1	1
2	10	2
3	11	3
4	100	4
5	101	5
6	110	6
7	111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F
16	10000	10
17	10001	11

On remarque que les valeurs en hexadécimal vont jusqu’à F et on a donc :

15₁₀ = 1111₂ = F₁₆

Conversion binaire → hexadécimal

Pour convertir un nombre binaire en hexadécimal on regroupe les bits par quatre (on rajoute éventuellement des zéros à gauche) et on remplace les groupes de quatre par leur valeur en hexadécimal.

12) Faisons ensemble 1011011011₂ :

2DB₁₆

13) Convertir 0110011011₂ en hexadécimal.

19B₁₆

14) Convertir 110111011010010011₂ en hexadécimal.

37693₁₆

Conversion hexadécimal → binaire

On remplace ici chaque valeur par son équivalent sur quatre bits.

15) Faisons ensemble 4E₁₆ :

01001110₂

16) Convertir 6C4₁₆ en binaire.

11011000100₂

17) Convertir BD039₁₆ en binaire.

10111101000000111001₂

Conversion décimal → hexadécimal

Il existe deux méthodes :

on passe par le binaire (plus long mais se fait sans calculatrice)
on fait les divisions euclidiennes successive par 16 comme pour le binaire (plus court mais il faut faire des divisions par 16)

18)Convertissons 370₁₀ par les deux méthodes :

19) Convertissez 3562₁₀ en hexadécimal par la méthode de votre choix.

Conversion hexadécimal → décimal

Il existe également deux méthodes :

on passe par le binaire (plus long mais plus simple)
on utilise la décomposition en base 16 (court mais il faut connaître les puissances de 16 !)

20) Prenons l’exemple de A7₁₆ :

21) Convertissez 5B1D₁₆ en décimal par la méthode de votre choix.