Cours d'informatique pour le lycée

Synthèse sur les algorithmes de première

Cette page présente une synthèse de ce qu'il faut savoir sur les algorithmes de première. On rappelle que la complexité mesure le nombre d'opérations (et par approximation le temps d'éxécution) dans le pire des cas. Elle s'exprime en fonction du nombre n d'éléments du problème.

Par exemple une complexité en O(n) signifie que le nombre d'opérations dépend linéairement de n. Cela veut dire que si on multiplie la taille des données par 2, le nombre d'opérations sera multiplié par 2.

Deux algorithmes avec la même complexité n'ont a priori pas le même temps d'éxécution, même si on utilise des données de même taille. L'un peut être 100 fois plus lent que l'autre.

Recherche dans un tableau

On recherche ici un élément dans un tableau non trié.

Comme on doit parcourir le tableau en entier la complexité est en O(n).

Tri par sélection

On veut ici trier un tableau.

On choisit le plus petit élément du tableau et on le range à gauche. On recommence avec les éléments restants en ne touchant pas au éléments déjà triés.

Comme il est nécessaire de parcourir tout le tableau pour trouver le plus petit et qu'on doit faire ça n fois, on parcourt deux fois le tableau. La complexité est donc en O(n²).

Tri par insertion

On veut ici trier un tableau.

On tri le tableau de gauche à droite (mais cela peut se faire de droite à gauche)

On considère chaque élément à partir du deuxième et on l'insère dans la partie déjà triée du tableau à gauche.

Comme il est nécessaire de parcourir tout le tableau trié pour trouver la bonne place et qu'on doit faire ça n fois, on parcourt deux fois le tableau. La complexité est donc en O(n²).

Rechercher dichotomique

On cherche ici un élément dans un tableau trié.

On regarde le milieu du tableau, si l'élément qu'on cherche est plus grand alors on recommence avec la partie droite du tableau sinon on recommence avec la partie gauche.

Comme on divise à chaque fois la taille du tableau par deux on arrive « rapidement » à un tableau de un élément, et l'algorithme s'arrête alors. Le nombre maximal d'opération est donc le nombre de fois ou on peut diviser la taille du tableau par deux. Ce nombre est log2(n). La complexité est donc en O(log2(n)).

Algorithme glouton

L'algorithme glouton permet de résoudre rapidement un problème ou il serait nécessaire d'essayer de nombreuses combinaisons avant de trouver la solution. Les problèmes classiques pour un algorithme glouton : rendu de monnaie, problème du sac à dos.

À chaque étape on choisit la possibilité qui semble la meilleure. Il est nécessaire que les choix puissent être ordonnés. L'algorithme glouton ne trouve pas nécessairement la meilleure solution mais il trouve une solution en un temps raisonnable.

La complexité d'un algorithme naïf dans ces problèmes est exponentielle : O(an). L'algorithme glouton permet de trouver une solution avec une complexité de O(n).

Tri fusion

On veut ici trier un tableau.

Il utilise la méthode diviser pour régner.

Sa complexité est en O(nlog2(n)) ce qui est meilleur que les deux algorithmes de tri précédents.